Eigenstates of Coulomb
The second example calculates the eigen-states, (terms) of the Coulomb operator. The input of the small program written in Quanty is given by the file conf.in. You can give the angular momentum of the shell and the number of electrons as the input. Again I would recommend that you make sure you understand the meaning of the physics, but do not worry at this point about the script written in Quanty.
The configuration file is:
- config.in
-- Angular momentum of the shell (0=="s" 1=="p" 2=="d" 3=="f") l = 2 -- Number of electrons Nelec = 4
The output is:
- Eigenstates_of_Coulomb.out
============================================================= --> This small program will print out the multiplets (eigen-states of the Coulomb operator) for a given configuration ============================================================= F[ 0] F[ 2] F[ 4] <S^2> <L^2> <J^2> <S_z> <L_z> <J_z> <l.s> | Term 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 0.000 -0.002 0.002 -0.000 -1.551 | ^5D_0 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 2.000 -0.500 -0.500 -1.000 -1.290 | ^5D_1 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 2.000 0.001 -0.001 -0.000 -1.290 | ^5D_1 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 2.000 0.500 0.500 1.000 -1.290 | ^5D_1 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 6.000 -1.000 -1.000 -2.000 -0.774 | ^5D_2 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 6.000 -0.500 -0.500 -1.000 -0.774 | ^5D_2 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 6.000 0.000 -0.000 -0.000 -0.774 | ^5D_2 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 6.000 0.500 0.500 1.000 -0.774 | ^5D_2 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 6.000 1.000 1.000 2.000 -0.774 | ^5D_2 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 12.000 -1.500 -1.500 -3.000 -0.016 | ^5D_3 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 12.000 -1.000 -1.000 -2.000 -0.016 | ^5D_3 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 12.000 -0.500 -0.500 -1.000 -0.016 | ^5D_3 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 12.000 0.000 -0.000 0.000 -0.016 | ^5D_3 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 12.000 0.500 0.500 1.000 -0.016 | ^5D_3 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 12.000 1.000 1.000 2.000 -0.016 | ^5D_3 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 12.000 1.500 1.500 3.000 -0.016 | ^5D_3 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 20.000 -2.000 -2.000 -4.000 0.969 | ^5D_4 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 20.000 -1.500 -1.500 -3.000 0.969 | ^5D_4 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 20.000 -1.000 -1.000 -2.000 0.969 | ^5D_4 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 20.000 -0.500 -0.500 -1.000 0.969 | ^5D_4 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 20.000 0.000 -0.000 0.000 0.969 | ^5D_4 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 20.000 0.500 0.500 1.000 0.969 | ^5D_4 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 20.000 1.000 1.000 2.000 0.969 | ^5D_4 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 20.000 1.500 1.500 3.000 0.969 | ^5D_4 6.000 -0.429 -0.429 6.000 6.000 20.000 2.000 2.000 4.000 0.969 | ^5D_4 6.000 -0.347 -0.156 2.000 29.996 20.000 0.800 -4.800 -4.000 -0.683 | ^3H_4 6.000 -0.347 -0.156 2.000 29.996 20.000 0.600 -3.600 -3.000 -0.683 | ^3H_4 6.000 -0.347 -0.156 2.000 29.996 20.000 0.400 -2.400 -2.000 -0.683 | ^3H_4 6.000 -0.347 -0.156 2.000 29.996 20.000 0.200 -1.200 -1.000 -0.683 | ^3H_4 6.000 -0.347 -0.156 2.000 29.996 20.000 -0.000 0.000 -0.000 -0.683 | ^3H_4 6.000 -0.347 -0.156 2.000 29.996 20.000 -0.200 1.200 1.000 -0.683 | ^3H_4 6.000 -0.347 -0.156 2.000 29.996 20.000 -0.400 2.400 2.000 -0.683 | ^3H_4 6.000 -0.347 -0.156 2.000 29.996 20.000 -0.600 3.600 3.000 -0.683 | ^3H_4 6.000 -0.347 -0.156 2.000 29.996 20.000 -0.800 4.800 4.000 -0.683 | ^3H_4 6.000 -0.347 -0.156 2.000 29.997 30.000 -0.167 -4.833 -5.000 -0.139 | ^3H_5 6.000 -0.347 -0.156 2.000 29.997 30.000 -0.134 -3.866 -4.000 -0.139 | ^3H_5 6.000 -0.347 -0.156 2.000 29.997 30.000 -0.100 -2.900 -3.000 -0.139 | ^3H_5 6.000 -0.347 -0.156 2.000 29.997 30.000 -0.067 -1.933 -2.000 -0.139 | ^3H_5 6.000 -0.347 -0.156 2.000 29.997 30.000 -0.033 -0.967 -1.000 -0.139 | ^3H_5 6.000 -0.347 -0.156 2.000 29.997 30.000 0.000 -0.000 0.000 -0.139 | ^3H_5 6.000 -0.347 -0.156 2.000 29.997 30.000 0.033 0.967 1.000 -0.139 | ^3H_5 6.000 -0.347 -0.156 2.000 29.997 30.000 0.067 1.933 2.000 -0.139 | ^3H_5 6.000 -0.347 -0.156 2.000 29.997 30.000 0.100 2.900 3.000 -0.139 | ^3H_5 6.000 -0.347 -0.156 2.000 29.997 30.000 0.133 3.867 4.000 -0.139 | ^3H_5 6.000 -0.347 -0.156 2.000 29.997 30.000 0.167 4.833 5.000 -0.139 | ^3H_5 6.000 -0.347 -0.156 2.000 30.002 42.000 -1.000 -5.000 -6.000 0.472 | ^3H_6 6.000 -0.347 -0.156 2.000 30.002 42.000 -0.833 -4.167 -5.000 0.472 | ^3H_6 6.000 -0.347 -0.156 2.000 30.002 42.000 -0.666 -3.334 -4.000 0.472 | ^3H_6 6.000 -0.347 -0.156 2.000 30.002 42.000 -0.500 -2.500 -3.000 0.472 | ^3H_6 6.000 -0.347 -0.156 2.000 30.002 42.000 -0.333 -1.667 -2.000 0.472 | ^3H_6 6.000 -0.347 -0.156 2.000 30.002 42.000 -0.166 -0.834 -1.000 0.472 | ^3H_6 6.000 -0.347 -0.156 2.000 30.002 42.000 0.000 -0.000 -0.000 0.472 | ^3H_6 6.000 -0.347 -0.156 2.000 30.002 42.000 0.167 0.833 1.000 0.472 | ^3H_6 6.000 -0.347 -0.156 2.000 30.002 42.000 0.333 1.667 2.000 0.472 | ^3H_6 6.000 -0.347 -0.156 2.000 30.002 42.000 0.500 2.500 3.000 0.472 | ^3H_6 6.000 -0.347 -0.156 2.000 30.002 42.000 0.667 3.333 4.000 0.472 | ^3H_6 6.000 -0.347 -0.156 2.000 30.002 42.000 0.833 4.167 5.000 0.472 | ^3H_6 6.000 -0.347 -0.156 2.000 30.002 42.000 1.000 5.000 6.000 0.472 | ^3H_6 6.000 -0.399 -0.024 2.000 2.000 0.000 -0.000 0.000 -0.000 -3.050 | ^3P_0 6.000 -0.399 -0.024 2.000 2.000 2.000 -0.500 -0.500 -1.000 -1.470 | ^3P_1 6.000 -0.399 -0.024 2.000 2.000 2.000 0.000 -0.000 -0.000 -1.470 | ^3P_1 6.000 -0.399 -0.024 2.000 2.000 2.000 0.500 0.500 1.000 -1.470 | ^3P_1 6.000 -0.399 -0.025 2.000 2.000 6.000 -1.000 -1.000 -2.000 1.489 | ^3P_2 6.000 -0.399 -0.025 2.000 2.000 6.000 -0.500 -0.500 -1.000 1.489 | ^3P_2 6.000 -0.399 -0.025 2.000 2.000 6.000 0.000 -0.000 -0.000 1.489 | ^3P_2 6.000 -0.399 -0.025 2.000 2.000 6.000 0.500 0.500 1.000 1.489 | ^3P_2 6.000 -0.399 -0.025 2.000 2.000 6.000 1.000 1.000 2.000 1.489 | ^3P_2 6.000 -0.345 -0.099 2.000 12.000 6.000 0.666 -2.666 -2.000 -0.516 | ^3F_2 6.000 -0.345 -0.099 2.000 12.000 6.000 0.333 -1.333 -1.000 -0.516 | ^3F_2 6.000 -0.345 -0.099 2.000 12.000 6.000 -0.000 0.000 0.000 -0.516 | ^3F_2 6.000 -0.345 -0.099 2.000 12.000 6.000 -0.334 1.334 1.000 -0.516 | ^3F_2 6.000 -0.345 -0.099 2.000 12.000 6.000 -0.667 2.667 2.000 -0.516 | ^3F_2 6.000 -0.344 -0.099 2.000 12.006 12.000 -0.249 -2.751 -3.000 -0.182 | ^3F_3 6.000 -0.344 -0.099 2.000 12.006 12.000 -0.166 -1.834 -2.000 -0.182 | ^3F_3 6.000 -0.344 -0.099 2.000 12.006 12.000 -0.083 -0.917 -1.000 -0.182 | ^3F_3 6.000 -0.344 -0.099 2.000 12.006 12.000 0.000 -0.000 -0.000 -0.182 | ^3F_3 6.000 -0.344 -0.099 2.000 12.006 12.000 0.083 0.917 1.000 -0.182 | ^3F_3 6.000 -0.344 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^1F_3 6.000 0.000 -0.190 0.000 12.000 12.000 -0.000 -2.000 -2.000 -0.016 | ^1F_3 6.000 0.000 -0.190 0.000 12.000 12.000 -0.000 -1.000 -1.000 -0.016 | ^1F_3 6.000 0.000 -0.190 0.000 12.000 12.000 -0.000 0.000 0.000 -0.016 | ^1F_3 6.000 0.000 -0.190 0.000 12.000 12.000 0.000 1.000 1.000 -0.016 | ^1F_3 6.000 0.000 -0.190 0.000 12.000 12.000 0.000 2.000 2.000 -0.016 | ^1F_3 6.000 0.000 -0.190 0.000 12.000 12.000 0.000 3.000 3.000 -0.016 | ^1F_3 6.000 0.140 -0.247 2.000 12.001 20.000 -1.000 -3.000 -4.000 -0.129 | ^3F_4 6.000 0.140 -0.247 2.000 12.001 20.000 -0.750 -2.250 -3.000 -0.129 | ^3F_4 6.000 0.140 -0.247 2.000 12.001 20.000 -0.500 -1.500 -2.000 -0.129 | ^3F_4 6.000 0.140 -0.247 2.000 12.001 20.000 -0.250 -0.750 -1.000 -0.129 | ^3F_4 6.000 0.140 -0.247 2.000 12.001 20.000 -0.000 0.000 -0.000 -0.129 | ^3F_4 6.000 0.140 -0.247 2.000 12.001 20.000 0.250 0.750 1.000 -0.129 | ^3F_4 6.000 0.140 -0.247 2.000 12.001 20.000 0.500 1.500 2.000 -0.129 | ^3F_4 6.000 0.140 -0.247 2.000 12.001 20.000 0.750 2.250 3.000 -0.129 | ^3F_4 6.000 0.140 -0.247 2.000 12.001 20.000 1.000 3.000 4.000 -0.129 | ^3F_4 6.000 0.140 -0.248 2.000 12.000 12.000 -0.250 -2.750 -3.000 0.091 | ^3F_3 6.000 0.140 -0.248 2.000 12.000 12.000 -0.167 -1.833 -2.000 0.091 | ^3F_3 6.000 0.140 -0.248 2.000 12.000 12.000 -0.084 -0.916 -1.000 0.091 | ^3F_3 6.000 0.140 -0.248 2.000 12.000 12.000 -0.001 0.001 -0.000 0.091 | ^3F_3 6.000 0.140 -0.248 2.000 12.000 12.000 0.083 0.917 1.000 0.091 | ^3F_3 6.000 0.140 -0.248 2.000 12.000 12.000 0.166 1.834 2.000 0.091 | ^3F_3 6.000 0.140 -0.248 2.000 12.000 12.000 0.250 2.750 3.000 0.091 | ^3F_3 6.000 0.140 -0.248 2.000 12.000 6.000 0.667 -2.667 -2.000 0.171 | ^3F_2 6.000 0.140 -0.248 2.000 12.000 6.000 0.334 -1.334 -1.000 0.171 | ^3F_2 6.000 0.140 -0.248 2.000 12.000 6.000 0.001 -0.001 -0.000 0.171 | ^3F_2 6.000 0.140 -0.248 2.000 12.000 6.000 -0.332 1.332 1.000 0.171 | ^3F_2 6.000 0.140 -0.248 2.000 12.000 6.000 -0.666 2.666 2.000 0.171 | ^3F_2 6.000 0.195 -0.322 2.000 2.000 6.000 -1.000 -1.000 -2.000 -0.983 | ^3P_2 6.000 0.195 -0.322 2.000 2.000 6.000 -0.500 -0.500 -1.000 -0.983 | ^3P_2 6.000 0.195 -0.322 2.000 2.000 6.000 -0.000 0.000 0.000 -0.983 | ^3P_2 6.000 0.195 -0.322 2.000 2.000 6.000 0.500 0.500 1.000 -0.983 | ^3P_2 6.000 0.195 -0.322 2.000 2.000 6.000 1.000 1.000 2.000 -0.983 | ^3P_2 6.000 0.195 -0.323 2.000 2.000 2.000 -0.500 -0.500 -1.000 1.003 | ^3P_1 6.000 0.195 -0.323 2.000 2.000 2.000 -0.000 0.000 0.000 1.003 | ^3P_1 6.000 0.195 -0.323 2.000 2.000 2.000 0.500 0.500 1.000 1.003 | ^3P_1 6.000 0.195 -0.323 2.000 2.000 0.000 0.000 -0.000 0.000 1.996 | ^3P_0 6.000 0.157 -0.132 0.000 19.999 20.000 -0.000 -4.000 -4.000 0.027 | ^1G_4 6.000 0.157 -0.132 0.000 19.999 20.000 -0.000 -3.000 -3.000 0.027 | ^1G_4 6.000 0.157 -0.132 0.000 19.999 20.000 -0.000 -2.000 -2.000 0.027 | ^1G_4 6.000 0.157 -0.132 0.000 19.999 20.000 -0.000 -1.000 -1.000 0.027 | ^1G_4 6.000 0.157 -0.132 0.000 19.999 20.000 0.000 -0.000 0.000 0.027 | ^1G_4 6.000 0.157 -0.132 0.000 19.999 20.000 0.000 1.000 1.000 0.027 | ^1G_4 6.000 0.157 -0.132 0.000 19.999 20.000 0.000 2.000 2.000 0.027 | ^1G_4 6.000 0.157 -0.132 0.000 19.999 20.000 0.000 3.000 3.000 0.027 | ^1G_4 6.000 0.157 -0.132 0.000 19.999 20.000 0.000 4.000 4.000 0.027 | ^1G_4 6.000 0.544 -0.313 0.000 6.000 6.000 -0.000 -2.000 -2.000 0.008 | ^1D_2 6.000 0.544 -0.313 0.000 6.000 6.000 -0.000 -1.000 -1.000 0.008 | ^1D_2 6.000 0.544 -0.313 0.000 6.000 6.000 0.000 -0.000 -0.000 0.008 | ^1D_2 6.000 0.544 -0.313 0.000 6.000 6.000 0.000 1.000 1.000 0.008 | ^1D_2 6.000 0.544 -0.313 0.000 6.000 6.000 0.000 2.000 2.000 0.008 | ^1D_2 6.000 0.737 -0.132 0.000 0.000 -0.000 0.000 -0.000 -0.000 0.012 | ^1S_0 Timing results Total_time | NumberOfRuns | Running | Name 0:00:01 | 1 | 0 | Create Eigenstates of Coulomb Operator
For completeness, the actual code is:
- Eigenstates_of_Coulomb.Quanty
-- script contributed by Yaroslav Kvashnin -- Minimize the output of the program, i.e. for longer calculations -- the program tells the user what it is doing. For these short -- examples the result is instant. Verbosity(0) print("") print("=============================================================") print("--> This small program will print out the multiplets (eigen-states of the Coulomb operator) for a given configuration") print("=============================================================") print("") -- read in the input dofile("conf.in") -- create the basis for quanty (define spin-orbitals and relate them to atomic shells -- there are 4*l+2 spin-orbitals in a shell with angular momentum l. -- we label the spin-orbitals in the order from ml=-l to ml=l alternating down and up Nf=4*l+2 IndexDn={} IndexUp={} j=1 for i=0,Nf-1,2 do IndexDn[j]=i IndexUp[j]=i+1 j=j+1 end -- number of bosons Nb=0 -- define few Operator on this basis OppSz = NewOperator("Sz" , Nf, IndexUp, IndexDn) OppLz = NewOperator("Lz" , Nf, IndexUp, IndexDn) OppSsqr = NewOperator("Ssqr" , Nf, IndexUp, IndexDn) OppLsqr = NewOperator("Lsqr" , Nf, IndexUp, IndexDn) OppJz = NewOperator("Jz" , Nf, IndexUp, IndexDn) OppJsqr = NewOperator("Jsqr" , Nf, IndexUp, IndexDn) Oppldots= NewOperator("ldots", Nf, IndexUp, IndexDn) SlaterInts={} OppFk={} Nk=l+1 for j=1,Nk do for i = 1,Nk do SlaterInts[i]=0 end SlaterInts[j]=1 OppFk[j] = NewOperator("U", Nf, IndexUp, IndexDn, SlaterInts) end TimeStart("Create Eigenstates of Coulomb Operator") Ham = 0.000001*(OppLz + 2 * OppSz) + 0.01 * Oppldots SlaterInts={} -- Number of allowed Slater integrals is L+1 SlaterInts[1]=20 for i = 2,Nk do SlaterInts[i]=SlaterInts[i-1]/2 end -- Set F[0] == SlaterInts[1] such that the center of gravity is 0. if(l==0) then SlaterInts[1] = 0 end if(l==1) then SlaterInts[1] = (2*SlaterInts[2])/25 end if(l==2) then SlaterInts[1] = (2*SlaterInts[2])/63 + (2*SlaterInts[3])/63 end if(l==3) then SlaterInts[1] = (4*SlaterInts[2])/195 + (2*SlaterInts[3])/143 + (100*SlaterInts[4])/5577 end if(l==4) then SlaterInts[1] = (20*SlaterInts[2])/1309 + (162*SlaterInts[3])/17017 + (20*SlaterInts[4])/2431 + (490*SlaterInts[5])/41327 end if(l==5) then SlaterInts[1] = (10*SlaterInts[2])/819 + (2*SlaterInts[3])/273 + (80*SlaterInts[4])/13923 + (70*SlaterInts[5])/12597 + (36*SlaterInts[6])/4199 end if(l==6) then SlaterInts[1] = (14*SlaterInts[2])/1375 + (28*SlaterInts[3])/4675 + (16*SlaterInts[4])/3553 + (14*SlaterInts[5])/3553 + (756*SlaterInts[6])/185725 + (30492*SlaterInts[7])/4643125 end if(l==7) then SlaterInts[1] = (56*SlaterInts[2])/6409 + (6804*SlaterInts[3])/1339481 + (5000*SlaterInts[4])/1339481 + (8750*SlaterInts[5])/2800733 + (40824*SlaterInts[6])/14003665 + (3388*SlaterInts[7])/1077205 + (163592*SlaterInts[8])/31238945 end if(l==8) then SlaterInts[1] = (8*SlaterInts[2])/1045 + (12*SlaterInts[3])/2717 + (200*SlaterInts[4])/62491 + (490*SlaterInts[5])/187473 + (56*SlaterInts[6])/24035 + (2156*SlaterInts[7])/950475 + (14872*SlaterInts[8])/5892945 + (1690*SlaterInts[9])/392863 end if(l==9) then SlaterInts[1] = (30*SlaterInts[2])/4403 + (396*SlaterInts[3])/101269 + (528*SlaterInts[4])/188071 + (98*SlaterInts[5])/43401 + (4116*SlaterInts[6])/2097715 + (23716*SlaterInts[7])/13005833 + (118976*SlaterInts[8])/65029165 + (11154*SlaterInts[9])/5355343 + (2149004*SlaterInts[10])/594443073 end if(l>9) then SlaterInts[1] = 0 end -- Add Coulomb operator to the Hamiltonian OppU = NewOperator("U", Nf, IndexUp, IndexDn, SlaterInts) Ham=Ham+OppU -- make sure that we have a certain filling of the shell (min=max number of particles in the shell) Nstates=Binomial(Nf,Nelec) str="" for i=1,Nf do str=str..1 end Restrictions = {Nf, Nb, {str,Nelec,Nelec}} -- We look for the lowest "Nstates" states. -- Meaning that we do complete diagonalisation of the H. psiEigen = Eigensystem(Ham, Restrictions, Nstates); TimeEnd("Create Eigenstates of Coulomb Operator") oppList={OppSsqr, OppLsqr, OppJsqr, OppSz, OppLz, OppJz, Oppldots} -- define function which will print the Term symbol according to L^2 S^2 and J^2 function LSJ2term (S2,L2,J2) L = floor(0.5 * (sqrt(abs(L2) * 4 +1) - 1) + 0.5) if L == 0 then str1="S" elseif L == 1 then str1="P" elseif L == 2 then str1="D" elseif L == 3 then str1="F" elseif L == 4 then str1="G" elseif L == 5 then str1="H" elseif L == 6 then str1="I" elseif L == 7 then str1="K" elseif L == 8 then str1="L" elseif L == 9 then str1="M" elseif L == 10 then str1="N" elseif L == 11 then str1="O" elseif L == 12 then str1="Q" elseif L == 13 then str1="R" elseif L == 14 then str1="T" elseif L == 15 then str1="U" elseif L == 16 then str1="V" elseif L == 17 then str1="W" elseif L == 18 then str1="X" elseif L == 19 then str1="Y" elseif L == 20 then str1="Z" else str1="?" end mult = floor(sqrt(S2 * 4 +1)+0.5) twoJ = floor((sqrt(abs(J2) * 4 +1) - 1) + 0.5)/2 return "^"..mult..str1.."_"..twoJ end for k=1,Nk do io.write(string.format(" F[%2i] ",2*(k-1))) end print(" <S^2> <L^2> <J^2> <S_z> <L_z> <J_z> <l.s> | Term"); Res={} ResF={} for i=1,Nstates do for k=1,Nk do ResF[k] = psiEigen[i] * OppFk[k] * psiEigen[i] io.write(string.format("%6.3f ",ResF[k])) end for j=1,7 do Res[j] = psiEigen[i] * oppList[j] * psiEigen[i] io.write(string.format("%6.3f ",Res[j])) end io.write(string.format("| %s",LSJ2term(Res[1],Res[2],Res[3]))) io.write("\n") end TimePrint()
